В чём заключается метод наименьших квадратов?

Метод наименьших квадратов (МНК) — это статистический метод, используемый для оценки параметров математической модели путем минимизации суммы квадратов разностей между наблюдаемыми значениями и значениями, предсказанными моделью. Он часто применяется для аппроксимации данных и построения линейной регрессии, хотя может быть использован и для других типов моделей.

Основная идея метода наименьших квадратов заключается в том, чтобы найти такие значения параметров модели, которые минимизируют сумму квадратов ошибок (остатков) между наблюдаемыми значениями и предсказанными значениями модели. Ошибка для каждого наблюдения вычисляется как разница между наблюдаемым значением и значением, предсказанным моделью.

Более формально, для простой линейной регрессии (модели с одним предиктором) МНК находит значения коэффициентов наклона (наклон прямой) и пересечения (точка, где прямая пересекает ось) так, чтобы минимизировать сумму квадратов остатков:

[ \sum_{i=1}^{n}(y_i — (a + bx_i))^2 ]

где (n) — количество наблюдений, (y_i) — наблюдаемое значение зависимой переменной, (x_i) — наблюдаемое значение независимой переменной, (a) — пересечение (параметр модели), (b) — наклон (параметр модели).

Метод наименьших квадратов обладает рядом математических свойств, которые делают его популярным инструментом для оценки параметров моделей. Он позволяет получить оптимальные оценки параметров, когда ошибка имеет нормальное распределение и выполнены некоторые предпосылки модели. Однако важно отметить, что МНК не является подходящим методом, если ошибки не удовлетворяют требованиям нормального распределения или если модель неправильно специфицирована.