Пружинный маятник осуществляет свободные незатухающие колебания с амплитудой А. Чему равно отклонение от положения

Пружинный маятник осуществляет свободные незатухающие колебания с амплитудой А. Чему равно отклонение от положения равновесия маятника в момент, когда его кинетическая энергия равна потенциальной?

Кинетическая энергия (KE) и потенциальная энергия (PE) в пружинном маятнике связаны следующим образом:

KE = (1/2)mv²,
PE = (1/2)kx²,

где m — масса маятника, v — скорость маятника, k — коэффициент жесткости пружины, x — отклонение маятника от положения равновесия.

При свободных незатухающих колебаниях энергия сохраняется, поэтому кинетическая энергия равна потенциальной энергии в любой момент времени. То есть KE = PE.

Подставим выражения для KE и PE:

(1/2)mv² = (1/2)kx².

Сократим общий множитель (1/2) и m:

v² = kx².

Теперь, зная, что скорость маятника (v) связана с амплитудой (A) и отклонением (x) соотношением v = ωA, где ω — частота колебаний, можем переписать уравнение:

(ωA)² = kx².

Раскроем скобки:

ω²A² = kx².

Теперь, если мы ищем отклонение маятника (x) в момент, когда его кинетическая энергия равна потенциальной, то это означает, что A — амплитуда колебаний в этот момент равна отклонению (x). То есть, A = x.

Подставим это в уравнение:

ω²x² = kx².

Сократим общий множитель x²:

ω² = k.

Теперь найдем x:

x = √(k/ω²).

Таким образом, отклонение от положения равновесия маятника в момент, когда его кинетическая энергия равна потенциальной, равно √(k/ω²).